可预测性燃烧反应动力学模型有助于在分子水平上理解燃烧过程，对燃料及燃烧室设计至关重要。尽管在过去几十年发展了各种不同燃料的动力学模型，但一些模型具有显著的不确定性，限制了它们在燃烧模拟中的应用。因此，人们希望量化模型的不确定性，研究其传递机制，并寻找减少不确定性的解决方案。近十年来，清华大学燃烧能源中心杨斌教授课题组一直致力于燃烧反应动力学模型的正向及反向不确定性分析研究，为了解决模型参数众多、高维模型计算成本高、实验数据信息含量评估难等研究挑战，发展了一系列模型分析及实验设计方法。近日，周子钧等人基于前期工作开发了一个集成的计算框架和平台，名为OptEx（Optimal Experiments，最优实验）[1]。该框架整合了全局灵敏性分析、不确定性分析、实验设计、数据归类、模型优化等功能，通过不同模块之间的数据和替代模型的共享，显著提高了模型分析和实验设计的计算效率[1-3]。OptEx中包含多种不同的实验设计方法，既能够单独使用设计最优实验，也可以结合起来进行实验数据聚类，从而更加有效地利用实验资源及数据，并更高效地实现模型优化，为可预测性燃烧反应动力学的发展和优化提供了一个全新的完整解决方案[1-15]。

OptEx包含的功能模块和工作流程如图1所示。OptEx的计算从初始构建的燃烧动力学模型开始，对模型输入参数（如速率系数）的不确定性范围进行评估，确定其先验概率密度。随后，第一个绿色矩形中展示的一系列模型分析方法(活性参数选择、活性子空间构建[10]、多层替代模型构建[8]等)被用来计算模型预测的不确定性因子和各个参数的全局灵敏性系数。紧接着，OptEx将采用红色虚线框中展示的实验设计策略(全局灵敏性分析、灵敏性熵分析、替代模型相似性分析、活性子空间相似性分析等)，对潜在可进行的实验条件、实验目标、引申特征等进行聚类和最优实验组设计。最后，当获得了设计条件下的实验数据之后，OptEx采用人工神经网络马尔科夫链蒙特卡洛（ANN-MCMC）方法[9]对初始模型进行优化。可进行迭代以满足最终的模型预测的不确定性要求并可以进行模型简化。

图1 燃烧反应动力学实验设计和模型优化计算平台OptEx示意图。

尤其需要指出的是，除了全局灵敏性分析外，OptEx的实验设计模块还包含两种实验设计指标的计算函数，分别为灵敏性熵[4]和替代模型相似性[5]。单独使用这两种指标在特定的目标下能够找到最优的实验条件，同时，结合使用多种方法还能实现实验数据的聚类，提供更加详细的实验设计信息，设计出最优实验组。

具体而言，灵敏性熵[4]是一种综合考虑所有模型参数灵敏性系数的量化指标，能够表征模型不确定性来源的集中程度，其计算公式如下：

其中和分别为一阶和二阶灵敏性系数。当模型的不确定性来源比较分散的时候（即存在多个模型参数具有较大的灵敏性系数），灵敏性熵较大；相反，如果模型的不确定性来源主要集中在少数的一两个模型参数上时，会出现某一两个模型参数的灵敏性系数显著大于其他灵敏性系数的情况，此时灵敏性熵偏小。灵敏性熵小的实验条件下，模型预测仅受少量的重要参数影响。在模型优化时，实验对于模型预测的约束反向传播到少量的模型参数上，更容易对模型参数的不确定性范围进行约束。

替代模型相似性方法[5]，是一种采用替代模型系数向量之间的余弦距离，来衡量两个替代模型的系数之间的相似程度的方法。由于燃烧反应动力学实验所能覆盖的工况范围，与实际燃烧过程应用的工况条件有较大的差异。遇到一些难以开展的工况条件下的实验时，可以采用替代模型相似性方法寻找与之相似的实验来提供相似的信息。假设有A和B两个实验条件，OptEx在这两个条件下采用高维模型表征法（HDMR）构建了替代模型：

该替代模型的系数向量为:

A和B两个条件下的替代模型系数向量分别为和，则这两个实验条件下替代模型的相似性系数可通过如下公式计算：

其中表示和的欧式范数。相似性系数大意味着两个替代模型的系数向量之间夹角的余弦值较大，也就是说这两个系数向量在高维空间中指向同一方向。由于HDMR替代模型的系数表征了模型参数与模型预测之间的映射关系，相似的替代模型系数向量也就意味着相近的模型映射关系，此时实验数据能够对同一维度的模型参数产生优化效果。

在之前的研究[4, 5]中，灵敏性熵和相似性系数是两个独立的方法，当前的工作结合了二者地特点，能够实现对实验数据的聚类分析，称之为相似性聚类方法。聚类分析是统计学当中的概念，属于机器学习当中无监督学习方法的一种，它通过数据的密度或是数据间的距离定义，来对一批数据进行合理的划分，从而帮助研究者更加清晰地了解数据的特性。相似性系数可以作为实验条件之间的一种余弦距离度量，因此可以将其与聚类的概念相结合，挖掘不同实验条件下的数据提供的信息之间的联系和差异。对于一批大规模的实验条件，它们构成的集合用来表示，则相似性聚类的算法原理如下所示：

（1）计算中包含的所有实验条件下的灵敏性熵，从中选择灵敏性熵最小的实验条件，并将其加入最优实验组。

（2）计算与其他实验之间的相似性系数，并将相似性系数大于阈值（依据之前研究中的经验，设定为0.8）的实验与归为一类，同时将这些实验从中排除。

（3）检查中是否还有剩余的实验条件，若有则返回（1）继续迭代执行。

根据上述聚类方法，可以将相似性高的实验条件归为统一类别，这些实验将提供同一维度的参数信息，不需要全部用于模型优化，挑选其中的代表性实验条件即可。本研究依据灵敏性熵最小的原则挑选出每一类中的代表性实验条件，组成最优实验组。这种实验设计方式不仅能够给出最优实验条件的建议，同时也总结了所有研究条件下的实验数据的信息之间的关联，有利于后续有针对性地拓宽工况范围进行进一步的实验设计。

作为一个应用案例，该工作利用利用OptEx对小分子燃料的代表—甲醇进行相关的实验设计和模型优化研究。该案例选取了点火延迟时间、层流火焰速度和CH₂O摩尔分数三个实验测量目标以及五种类型的反应器。采用OptEx当中的相似性聚类方法对如下表1中的所有实验条件进行聚类。具体来说，本案例将相似性系数大于0.8的实验划分为同一组，每一组中灵敏性熵最小的实验被选为该组的代表实验。

表1 实验设计中考虑的潜在实验工况范围

表

本研究将表1中所示的所有实验条件聚类为了8个主要的类别，命名为G1-G8。以JSR实验为例，如图2所示，其分组受温度区间的影响十分显著。低温区间内的实验都被分入了G2，中间温度区间内的高压和低压实验分别被分入了G3和G5。高温区间内的实验，根据不同的压力和当量比，被分入了G4和G7。

图2 不同工况条件下的JSR实验的聚类结果。三维空间中散点的颜色代表实验条件所属的聚类类别。

根据相似性聚类的结果，本案例中的849个实验条件被分为了8个类别，并选出了8个代表性的实验条件，采用这些实验条件进行优化之后，模型对于点火延时（IGN）、层流火焰（LPF）中的CH₂O浓度、火焰传播速度（LBV）、射流搅拌反应器（JSR）中的CH₂O浓度、柱塞流反应器（PFR）中的CH₂O浓度等预测目标的预测不确定性因子都明显降低（如图3和图4所示）。

图3 原始模型和优化模型的不确定性因子对比。

图4 原始模型和优化模型的不确定性因子对比。

本工作发展了适用于复杂燃烧反应动力学模型的实验设计及模型优化框架及平台 OptEx，实现了大规模实验数据聚类，以及实验设计的计算效率提升，为更高效的发展可预测性燃烧反应动力学模型提供了新的思路。需要指出的是，OptEx的实现依赖于先前李爽、王佳星、周子钧、林可利、王一如、黄灿、孙雯禹等同学的诸多工作，包括模型降维、基于ANN的替代模型、实验设计方法、实验数据引申特征、模型优化等工作，解决了一系列技术难题。后续将会更多利用机器学习的算法来加快OptEx各模块的计算效率，并构建基于OptEx的燃烧反应动力学网络平台，服务于感兴趣的用户群体。

本工作相关的方法描述可以参考如下文献：